Cho hàm số y=ax4+bx2+c có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua điểm A−1;0. Tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=0, x=2 bằng 285 (phần tô đậm trong hình vẽ).Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x= -1, x=0 có diện tích bằng

Đáp án D.

Ta có y'=4ax3+2bx→y'−1=−4a−2b  . Phương trình tiếp tuyến của  (C) tại điểm  A−1;0 là đường thẳng

d:y=y'−1.x+1⇔y=−4a−2bx−4a−2b

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:

  ax4+bx2+c=−4a+2bx−4a−2b⇔ax4+bx2+4a+2bx+4a+2b+c=0(*)

Quan sát đồ thị, ta thấy đường thẳng d cắt đồ thị  tại hai điểm có hoành độ  x=0,x=2nên phương trình (*) có hai nghiệm x=0,x=2 .

Suy ra  

4a+2b+c=016a+4b+24a+2b+4a+2b+c=0⇔4a+2b+c=028a+10b+c=0 (1)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d, đồ thị (C) và hai đường thẳng  x=0,x=2là  

 S=∫02−4a−2bx−4a−2b−ax4+bx2+cdx=285

 ⇔∫02−4a−2bx−4a−2b−ax4−bx2−cdx=285

⇔−a5x5−b3x3−2a+bx2−4a+2b+cx02=285

 ⇔−325a−8b3−42a+b−24a+2b+c=−285⇔1125a+323b+2c=285(2)

Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta tìm được: a=−1,b=3,c=−2 .

Suy ra C:y=−x4+3x2−2  vàd:y=−2x−2 . Diện tích hình phẳng cần tính là:

S=∫−10−x4+3x2−2−−2x−2dx=∫−10−x4+3x2+2xdx=∫−10x4−3x2−2xdx 

 =x55−x3−x2−10=15(đvdt).