Cho hình chóp S.ABC có SA=a,SB=b,SC=c. Một mặt phẳng α đi qua trọng tâm của ΔABC, cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1SA'2+1SB'2+1SC'2.

Đáp án A

Giả sử SA→=xSA'→;  SB→=ySB'→;  SC→=zSC'→  .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒GA→+GB→+GC→=0 .

⇒3GS→+SA→+SB→+SC→=0

⇒SG→=SA→3+SB→3+SC→3⇒SG→=x3.SA'→+y3.SB'→+z3.SC'→  1

Do  A'B'C' đi qua G nên ba vectơ  GA'→;GB'→;GC'→ đồng phẳng

Suy ra tồn tại 3 số  i;m;n,i2+m2+n2≠0 sao cho i.GA'→+m.GB'→+n.GC'→=0

i+m+n.GS→+i.SA'→+m.SB'→+n.SC'→=0

⇒SG→=ii+m+nSA'→+mi+m+nSB'→+ni+m+n.SC'→  2

Do SG;SA';SB';SC'  không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có

x3=ii+m+n;  y3=mi+m+n;  z3=ni+m+n

x+y+z3=i+m+ni+m+n=1⇒x+y+z=3

Ta có 1SA'2+1SB'2+1SC'2=x2a2+y2b2+z2c2

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực  xa;yb;zc và  a;b;c ta có .

x2a2+y2b2+z2c2a2+b2+c2≥x+y+z2

⇔1SA'2+1SB'2+1SC'2≥x+y+z2a2+b2+c2=3a2+b2+c2

Dấu “=” xảy ra khi x2a2=y2b2=z2c2