Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng AMN luôn vuông góc với mặt phẳng BCD. Gọi V1;V2 lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. TínhV1+V2?

Đáp án A

Gọi O là tâm của tam giác BCD⇒OA⊥BCD

Mà AMN⊥BCD suy ra MN luôn đi qua điểm O.

Đặt BM=x,BN=y⇒SΔBMN=12.BM.BN.sinMBN^=34xy.

Tam giác ABO vuông tại O

Suy ra thể tích tứ diện ABMN là V=13.OA.SΔBMN=212xy.

Mà MN đi qua trọng tâm của ΔBCD⇒3xy=x+y. 

Do đó:

xy≤x+y24=9xy24⇔12≥xy≥49→V1=224;V2=227.

Vậy V1+V2=172216.