Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn z1−z2−9−12i=3 và z1−3−20i=7−z2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=z1+2z2+12−15i. Khi đó giá trị M2−m2 bằng

Đáp án D

Đặt w=z1−9−12i⇒w-z2=3w+6-8i+z2=7

Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức w và z₂. Khi đó ta có AB=3AM+OB=7 với điểm M(-6;8).

⇒AB+AM+OB=10=OM. Suy ra A, B thuộc đoạn OM.

Suy ra OA→=xOM→=(−6x;8x) và OB→=yOM→=(−6y;8y) với x,y∈0;1

Đặt w=−6x+8xiz2=−6y+8yi với x,y∈0;1

Khi đó P=−6x+8xi−12y+16yi+21−3i

Hay P=(−6x−12y+21)2+(8x+16y−3)2. Đặt t=x+2y,t∈0;3

Khi đó P=100t2−300t+450

Khảo sát hàm số f(t)=100t2−300t+450 trên đoạn 0;3 ta được

max0;3f(t)=f(0)=450,min0;3ft=f32=225

Từ đó suy ra M=450,m=15. Vậy M2−m2=225.