Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;−3) và mặt phẳng P:2x+2y−z+9=0. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng Q:3x+4y−4z+5=0 cắt mặt phẳng (P) tại B. Điểm M nằm trong mặt phẳng (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông và độ dài MB lớn nhất. Độ dài MB là:

Đáp án A

Đường thẳng d qua A(1;2;−3) và vuông góc (Q) có phương trình x=1+3ty=2+4tz=−3−4t.

Vì B=d∩P⇒B1+3t;2+4t;−3−4t∈P⇒t=−1⇒B−2;−2;1

Ta có M∈PMA⊥MB⇒M thuộc đường tròn giao tuyến của P và mặt cầu S (tâm I, đường kính AB)

Phương trình mặt cầu S là x+122+y2+z+12=414. 

Và dI,P=2.−12+2.0+1+93=3

Khi đó BK=IB2−d2=52 với K là tâm đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

Để MB lớn nhất ⇔ MB là đường kính đường tròn giao tuyến ⇒MB=2BK=5.