Một loại kẹo có hình dạng là khối cầu với bán kính bằng được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều (các mặt của vỏ tiếp xúc với kẹo). Biết rằng khối chóp đều tạo thành từ vỏ kẹo đó có thể tích bé nhất, tính tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo:

Chọn D

Giả sử vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a đường cao SO=h. Loại kẹo có hình dạng là khối cầu có tâm I

Gọi M là trung điểm cạnh CD.

Gọi K là hình chiếu của I trên SM⇒K là hình chiếu của I trên mặt phẳng (SCD).

⇒OI=OK=1.

Dễ thấy ΔSKI∽ΔSOM⇒SISM=IKOM⇒SO−OISO2+OM2=IKOM

⇒h−1h2+a24=1a2⇒ah−a=4h2+a2⇒h=2a2a2−4

Thể tích khối chóp S.ABCD là: V=13SO.SABCD=13.2a2a2−4.a2=23.a4a2−4=23.a2−4+16a2−4+8≥23.2.4+8=323

Dấu bằng xảy ra ⇔a2−4=16a2−4⇔a=22.

⇒h=4⇒OM=2;SM=32