Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC=60°, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SA, SD và P là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng

Đáp án B. 

Gọi I là trung điểm của SP. Theo định lý Talet:

d1HMN=12dSHMN. Ta cần tính dSHMN.

Bước 1: Tìm VS.HMN

Ta có: 

VS.HMNVS.HAD=12.12=14;VS.HADVS.ABCD=14

Giả sử a = 1

Dễ thấy 

VS.ABCD=13SH.SABCD=13.32.32=14

⇒VS.HMN=116.14=164.

Bước 2: Tìm SHMN. Ta có: MH→=−12BS→ và MN→=12BC→⇒HMN=180°−SBC.

Do đó 

sinHMN=sinSBC⇒SHMN=12MH.MN.sinHMN=14.SSBC.

Tam giác SBC có SB = BC = 1; 

SC=SH2+HC2=2SH=62⇒SSBC=158.

Do đó SHMN=14.158=1532.

Bước 3: Sử dụng công thức: 

dSHMN=3.VS.HMNSHMN=364.3215=1510⇒dIHMN=12.1510=1520.