Phương trình log2cotx−tanx=1+cos2x−sin2x với x∈0;π4 có bao nhiêu nghiệm?

Đáp án B

Do x∈0;π4 nên cotx>100.

cotx−tanx=cosxsinx−sinxcotx=2cos2xsin2x nên phương trình đã cho tương đương

log22cos2xsin2x=1+cos2x−sin2x 

⇔log2cos2x−log2sin2x=cos2x−sin2x (do 0

⇔log2cos2x−cos2x=log2sin2x−sin2x

Xét hàm số ft=log2t−t với t∈0;1.

Ta có f't=1tln2−1>0,∀t∈0;1 (vì 0

⇒1tln2>1⇔1tln2−1>0

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;1).

Suy ra fcos2x=fsin2x⇔cos2x=sin2x⇔tan2x=1⇒x=π8.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=π8.