Cho số phức z thỏa mãn z−1−i+z−3−2i=5. Giá trị lớn nhất của z+2i bằng

Đáp án B

Gọi z=x+yi,x,y∈ℝ.

Khi đó z−1−i+z−3−2i=5⇔x−1+y−1i+x−3+y−2i=5   1.

Trong mặt phẳng Oxy, đặt A1;1;B3;2;Ma;b.

⇒ Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm M(a;b) trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn MA+MB=5.

Mặt khác AB=3−12+2−12=5 nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.

Ta có z+2i=a+b+2i. Đặt N(0;-2) thì z+2i=MN.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.

Phương trình AB: x-2y+1=0.

Ta có H(-1;0) nên hai điểm A, B nằm cùng phía đối với H.

Ta có AN=12+32=10BN=32+2+22=5.

Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có AN≤MN≤BN=5.

Vậy giá trị lớn nhất của z+2i bằng 5 đạt được khi M≡B3;2, tức là z=3+2i