Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P:3x+y−z+5=0 và hai điểm A1;0;2, B2;−1;4. Tập hợp các điểm M(x;y;z) nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất là đường thẳng có phương trình

Đáp án C

Ta có AB→=1;−1;2, vectơ pháp tuyến của (P) là nP→=3;1;−1.

Ta thấy hai điểm A.B nằm cùng 1 phía với mặt phẳng (P) và AB song song với (P).

Điểm M∈P sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất

⇔SΔABC=AB.dM;AB2 nhỏ nhất

⇔dM;AB nhỏ nhất, hay M∈Δ=P∩Q, (Q) là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với (P).

 ⇒Δ//AB hay ∆ nhận AB→=1;−1;2 là một vectơ chỉ phương.

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là nQ→=AB→;nP→=−1;7;4

⇒ Phương trình mặt phẳng Q:−1x−1+7y+4z−2=0⇔x−7y−4z+7=0

⇒ Tập hợp các điểm M(x;y;z) thỏa mãn hệ phương trình x−7y−4z+7=03x+y−z+5=0.

Chọn x=−1⇒y=−211;z=2011

⇒Δ:x=−1+ty=−211−tz=2011+2t t∈ℝ.