Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P: x−2y+2z−3=0 và mặt cầu S: x2+y2+z2−10x+6y−10z+39=0. Từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N. Tính khoảng cách từ M tới gốc tọa độ biết rằng MN=4

Đáp án D

Xét mặt cầu S: x−52+y+32+z−52=20⇒I5;−3;5,R=25.

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng P:dI;P=5−2.−3+2.5−312+−22+22=6

Khi đó MN2+IN2=MN2+R2=42+252=36=d2⇒IM⊥(P)

Suy ra phương trình của IM: x−51=y+3−2=z−52;M∈IM⇒Mt+5;−3−2t;2t+5

Mà M∈P⇒t+5−2−2t−3+22t+5−3=0⇒t=−2⇒M3;1;1⇒OM=11