Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên ℝ. Có đồ thị hàm số f'(x) như hình vẽ bên. Biết phương trình 2fx>x2+m đúng với mọi x∈−2;3 khi và chỉ khi:

Đáp án B

Ta có 2fx>x2+m⇔2fx−x2>m, với mọi x∈−2;3.

Đặt gx=2fx−x2 xét trên đoạn x∈−2;3.

g'x=2f'x−x.

Vẽ đường thẳng y=x cùng với đồ thị hàm số y=f'(x) trên cùng một hệ trục tọa độ.

Ta có: g'x=0⇔f'x=x⇔x=−2x=1x=3

Bảng biến thiên:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f'x, y=x, x=−2, x=1.

Gọi H là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f'x, y=x, x=1, x=3.

Dựa vào đồ thị dễ thấy S>H⇔S−H>0.

Ta có: ∫−23g'x2dx=12∫−21g'xdx+∫13g'xdx=12S−H>0⇒∫−23g'x2dx>0⇔gx2−23 >0⇔g3−g22>0⇔g3−g2>0⇒minx∈−2;3gx=g−2

Để bất phương trình gx=2fx−x2>m đúng với mọi x∈−2;3 thì minx∈−2;3gx>m⇒g−2>m⇔m<2f−2−4.