Cho hai số phức z,  w thỏa mãn w+i=310 và 10w=3−iz−3. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=z−2−i+z−6−i bằng

Đáp án đúng là: D

Ta có: 10w=3−iz−3⇔10w+i=3−iz−3+10i.

Môđun hai vế ta được:

10w+i=3−iz−3+10i⇔10w+i=3−iz−3+10i3−i⇔10.310=3−iz−3−1+3i⇔310=3−i.z−4+3i⇔310=10.z−4+3i⇔z−4+3i=3Đặt z=x+yi  x,y∈ℝ có điểm biểu diễn là Mx;y.

Khi đó z−4+3i=3⇔x−42+y+32=9 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn (C) có tâm I = (4;-3) và bán kính bằng R = 3.

Ta có P=z−2−i+z−6−i=z−2+i+z−6+i=MA+MB vớiA2;1;  B6;1.

Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra E (4;1).

Xét tam giác MAB ta có:

 ME2=2MA2+MB2−AB24⇒2MA2+MB2=4ME2+AB2=4ME2+16.

Ta có:

P2=MA+MB2=1.MA+1.MB2≤12+12MA2+MB2

=2MA2+MB2=4ME2+16

⇒P2≤4ME2+16≤4IMmax+IE2+16=43+42+16=212⇒P≤212=253.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 253.