Hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f(0) = 2 và2x+1.f'x−3x2=8xx2+1+23−fx. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=fx, y=f'x.

Đáp án đúng là: D

Ta có: 2x+1.f'x−3x2=8xx2+1+23−fx

⇔2x+1.f'x+2fx=8x3+3x2+8x+6

 ⇔2x+1.fx'=8x3+3x2+8x+6

⇒2x+1.fx=∫8x3+3x2+8x+6dx=2x4+x3+4x2+6x+C

Mà f(0) = 2 nên suy ra C = 2. Khi đó:

2x+1.fx=2x4+x3+4x2+6x+2=2x+1x3+2x+2⇒fx=x3+2x+2

Suy ra: f'x=3x2+2

Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cong y = f(x), y = f'(x) là:

x3+2x+2=3x2+2⇔x3−3x2+2x=0⇔x=0x=1x=2.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = f'(x) bằng:

S=∫02x3+2x+2−3x2+2dx=12.