Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, từ điểm A (1;1;0) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có tâm I (-1;1;1), bán kính R =1. Gọi M (a;b;c) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcT=2a−b+2c

Đáp án đúng là: D

Do AM là tiếp tuyến của mặt cầu (S) nên AM⊥IM  nên tam giác IAM vuông tại M

Xét ΔIAM , có: IA=5,  IM=1⇒MA=IA2−R2=2  

=> M thuộc mặt cầu tâm A bán kính là 2.

Khi đó M thuộc đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu tâm I bán kính R=1 và mặt cầu tâm A bán kính R=2.

C⊂P:x+12+y−12+z−12=1x−12+y−12+z2=4

⇔C⊂P:2x−z+2=0

Ta có IA:x=1−2ty=1z=t,t∈ℝ .

Gọi E là tâm đường tròn giao tuyến.

Khi đó: E=IA∩P⇒E−35;1;45 .

Xét ΔIAM  có: r=EM=MA.MIIA=25 .

=> M thuộc mặt cầu tâm E−35;1;45  bán kính R=25  hay a+352+b−12+c−452=45 .

Do M∈P⇒2a−c+2=0⇔c=2a+2 .

Khi đó ta có được a+352+b−12+2a+652=45T=6a−b+4

a+352+b−12+2a+652=45⇔5a+352+b−12=45.

Ta có 6a−b+4=655a+35−b−1−35 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

655a+35−b−1≤5a+352+b−12652+−12=2415

.