Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại A ta lấy điểm S di động không trùng với A. Hình chiếu vuông góc của A lên SB,  SD lần lượt là H, K. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ACHK.

Chọn C

Ta sẽ sử dụng công thức V=16a.b.da,b.sina,b (với a,b chéo nhau).

Đặt SA=xx>0.

Xét tam giác SAB vuông tại A có SA2=SH.SB⇒SHSB=SA2SB2=x2x2+a2.

Mà SKSD=SHSB=HKBD⇒SKSD=HKBD=x2x2+a2⇒HK=x2a2a2+x2

Lại có IHSA=HBSB=SB−SHSB=1−SHSB=1−x2x2+a2=a2x2+a2⇒ IH=a2xa2+x2

Mặt khác ta có AC và HK chéo nhau và HK//ABCD;AC⊂ABCD nên HI=d(KH,AC) và AC⊥HK

Khi đó ⋅VACBR=16AC.KH.HI=16⋅a2⋅x2a2a2+x2⋅a2xa2+x2=a43⋅x3a2+x22

Xét hàm f(x)=x3x2+a22 trên 0;+∞ có f'x=−x6+2a2x4+3a4x2x2+a24

⇒f'x=0⇔−x6+2a2x4+3a4x2=0⇔x2=0Lx2=−a2VNx2=3a2⇔x=a3 (do x>0).

Bảng biến thiên

Suy ra max(0;+∞)fx=a3316 khi x=a3

Vậy thể tích khối tứ diện ACHKlớn nhất bằng Vmax=a3316