Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng SBC , với α<450 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD.

Đáp án C

Gọi D'  là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD'.

Khi đó DD'//SA  mà SA⊥SBC  nên DD'⊥SBC.

Ta có SD,SBC^=α=DSD'^=SDA^ , do đó SA=AD.tanα=2atanα

Đặt tanα=x, x∈0;1

Gọi H  là hình chiếu của S  lên AB , ta có VS.ABCD=13SH.SABCD=4a23.SH

Do đó VS.ABCD  đạt giá trị lớn nhất khi SH  lớn nhất.

Vì ΔSAB vuông tại S  nên 

SH=SA.ABAB=SAAB2−SA2AB=2ax4a2−4a2x22a=2ax1−x2≤2a.x2+1−x22=a.

Từ đó maxSH=a  khi tanα=22

Vậy maxVS.ABCD=13a.4a2=43a3.