Cho hàm số \[y = \frac\] có đồ thị (C). Điểm \[M\left( {a;b} \right){\rm{ }}\left( {a >0} \right)\] thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng của (C) bằng khoảng cách M tới tiệm cận ngang của (C). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Chọn đáp án D

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \({d_1}:x = 1\) và tiệm cận ngang \({d_2}:y = 2\).

Ta có \(M \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {t;\frac} \right) \Rightarrow M\left( {t;2 + \frac{1}} \right){\rm{ }}\left( {t >0,{\rm{ }}t \ne 1} \right).\)

Bài ra có \(d\left( {M;{d_1}} \right) = d\left( {M;{d_2}} \right) \Rightarrow \left| {t - 1} \right| = \left| {2 + \frac{1} - 2} \right| \Leftrightarrow \left| {t - 1} \right| = \left| {\frac{1}} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right. \Rightarrow t = 2\) thỏa mãn

\( \Rightarrow M\left( {2;3} \right) \Rightarrow a + b = 5\).