Cho hình chóp \[S.ABC\] có cạnh \[BC = 3a\] và \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Biết cạnh \[MN = \frac{{9a\sqrt 2 }}{5}\], tính tỉ số \[\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{A.BMNC}}}}.\]

Chọn đáp án D

Ta có \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac.\frac.\frac = \frac.\frac\)(1)

Lại có \(S{A^2} = SM.SB\) và \(S{A^2} = SN.SC\)

\( \Rightarrow SM.SB = SN.SC \Rightarrow \frac = \frac\)

\( \Rightarrow \Delta SMN\~\Delta SCB{\rm{ }}\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \frac = \frac = \frac.\)

Khi đó từ (1) \( \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac.\frac = \frac.\frac = \frac{{M{N^2}}}{{B{C^2}}}.\)

Bài ra \(MN = \frac{{9a\sqrt 2 }}{5}\) và \(BC = 3a \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{V_{S.ABC}}\)

\( \Rightarrow {V_{A.BMNC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.AMN}} = {V_{S.ABC}} - \frac{V_{S.ABC}} = \frac{7}{V_{S.ABC}} \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{A.BMNC}}}} = \frac{7}.\)