Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[\int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 4\] và \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = 2\]. Tính tích phân \[I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \].

Chọn đáp án D

Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow dt = \frac{{d{\rm{x}}}}{{2\sqrt x }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,t = 1\\x = 9,t = 3\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}d{\rm{x}}} = 2\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} = 4 \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\).

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = 0\\x = \frac{\pi }{2},t = 1\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = 2 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\).

Suy ra \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 4\).