Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm liên tục trên 0;  π thỏa mãn ∫0πfxcosxdx=A, fπ2=0 và ∫0πf'x2dx=2A2π, ở đó A là hằng số. Tính ∫0π4f2xdx theo A

Đáp án C

Theo phương pháp tích phân từng phần, ta có: A=∫0πfxcosxdx=fxsinx0π−∫0πf'xsinxdx=−∫0πf'xsinxdx

Suy ra ∫0πf'xsinxdx=−A

Ta lại có: ∫0πsin2xdx=∫0π1−cos2x2dx=x2−sin2x40π=π2

Mặt khác, ∫0πf'x2dx=2A2π. Gọi X là số thực thỏa mãn 2A2π+2−AX+X2π2=0⇔2πA−Xπ22=0⇒X=2Aπ

Từ đó ta có:

∫0πf'x2dx+22Aπ∫0πf'xsinxdx+4A2π2∫0πsin2xdx=0 hay ∫0πf'x+2Aπsinx2dx=0

Do f'(x), sinx liên tục nên f'x+2Aπsinx2 không âm, liên tục và ∫0πf'x+2Aπsinx2dx=0 do đó f'x+2Aπsinx=0 trên 0,  π

Hay f'x=−2Aπsinx trên 0,  π.

Lấy nguyên hàm hai vế trên 0,  π, ta có: fx=2Aπcosx+C với ∀x∈0,  π.

Theo giả thiết fπ2=0 nên C=0. Vậy fx=2Aπcosx với ∀x∈0,  π.

Khi đó ∫0π4f2xdx=∫0π42Aπcos2xdx=Aπsin2x0π4=Aπ.