Giả sử f(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên ℝ. Biết rằng Gx=x3 là một nguyên hàm của gx=e−2xfx trên ℝ.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số e−2xf'xdx là:

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

- Sử dụng: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ nên ∫fxdx=Fx+Cfx=F'x

Cách giải:

Xét I=∫e−2xf'xdx.

Đặt u=e−2xdv=f'xdx⇒du=−2e−2xdxv=fx

⇒I=e−2xfx+2∫e−2xfxdx.

Vì Gx=x3 là một nguyên hàm của gx=e−2xfx trên ℝ nên ∫e−2xfxdx=Gx+C=x3+Ce−2xfx=G'x=3x2

⇒I=x3+3x2+C.

Chọn C.