Có bao nhiêu số phức z đôi một khác nhau thỏa mãn z+i=2 và z−24 là số thực?

Phương pháp:

- Từ giả thiết z+i=2 suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z

- Từ giả thiết z−24 là số thực chứng minh hoặc z - 2 là số thực, hoặc z - 2 là số thuần ảo, hoặc z - 2 có phần thực bằng cộng trừ phần ảo.

- Sử dụng phương pháp hình học.

Cách giải:

Vì z+i=2⇒z−−i=2 nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; -1), bán kính R = 2.

Gọi z−2=x+yi ta có:

z−22=x+yi4=x2−y2+2xyi2

=x2−y22+4xyx2−y2i−4x2y2

=x4−8x2y2+y4+4xyx2−y2i

Vì z−22 là số thực nên 4xyx2−y2=0⇔x=0y=0x=y

TH1: x=0⇒z−2=yi⇒z=2+yi⇒ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = 2 trừ điểm (2; 0).

TH2: y=0⇒z−2=z⇔z=x+2⇒ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = 0 trừ điểm (-2; 0).

TH3: x=y⇒x=y⇒z−2=x+xi⇒z=x+2+xix=−y⇒z−2=x−xi⇒z=x+2−xi⇒ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y=x−2y=−x+2 trừ điểm 0;−2,2;0,0;2,−2;0.

Ta có hình vẽ:

Vậy có 5 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.