Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC, \[\widehat B = 60^\circ \]. Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Gọi D là điểm trên cạnh AC sao cho AD = AB. Kẻ DE ⊥ BC (E ∈ BC) và DK ⊥ AH (K ∈ AH). Cho các khẳng định sau: (I) BH = AK; (II) HA = KD = HE. Chọn phương án đúng:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆HAB và ∆KDA, có:

\[\widehat {AHB} = \widehat {DKA} = 90^\circ \].

AB = AD (giả thiết).

\[\widehat {BAH} = \widehat {ADK}\] (cùng phụ với \[\widehat {KAD}\]).

Do đó ∆HAB = ∆KDA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra HA = KD và BH = AK (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó (I) đúng.

Ta có: KD ⊥ AH (giả thiết) và HE ⊥ AH (giả thiết).

Suy ra KD // HE.

Có \[\widehat {KDH},\,\,\widehat {EHD}\] ở vị trí so le trong.

Do đó \[\widehat {KDH} = \widehat {EHD}\].

Xét ∆KDH và ∆EHD, có:

\[\widehat {DKH} = \widehat {HED} = 90^\circ \].

HD là cạnh chung.

\[\widehat {KDH} = \widehat {EHD}\] (chứng minh trên).

Do đó ∆KDH = ∆EHD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra KD = EH (hai cạnh tương ứng)

Mà HA = KD (chứng minh trên).

Do đó HA = KD = HE. Suy ra (II) đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.