Giả sử f(x) là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;π và f'xsinx=x+fxcosx,∀x∈0;π. Biết fπ2=1,fπ6=112a+bln2+cπ3, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị a + b + c bằng:

Phương pháp:

- Chuyển vế, chia cả 2 vế cho sin2x.

- Lấy nguyên hàm hai vế, từ đó tìm hàm f(x)

- Sử dụng giả thiết fπ2=1 tìm hằng số C, từ đó tìm fπ6.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính tổng a + b + c.

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

f'xsinx=x+fxcosx

⇔f'xsinx−fxcosx=x

⇔f'xsinx−fx.sinx'sin2x=xsin2x

⇔fxsinx'=xsin2x

Lấy nguyên hàm hai vế ta có:

null

Đặt u=xdv=dxsin2x⇒du=dxv=−cotx

⇒fxsinx=−xcotx+lnsinx+C⇒fx=sinx−xcotx+lnsinx+C

Vì fπ2=1 nên 1=sinπ2−π2cotπ2+lnsinπ2+C⇔1=1.−π2.0+ln1+C⇔C=1.

⇒fx=sinx−xcotx+lnsinx+1

⇒fπ6=sinπ6−π6.cotπ6+lnsinπ6+1

=12−π6.3+ln12+1

 =1126−6ln2−π3

⇒a=6,b=−6,c=−1

Vậy a+b+c=6−6−1=−1.

Chọn A.