Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

3M’G’ = BC

⇔3M'G'→=BC→

 ⇔3M'G'→.BC→=BC→2 (nhân cả hai vế với vectơ BC→ ).

Do M’ là hình chiếu của M trên BC, G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC nên M'G'→=MG→ .

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên MA→+MB→+MC→=3MG→ .

Do đó, ta có:

3MG→.BC→=BC→2

⇔MA→+MB→+MC→MC→−MB→=BC2

⇔MA→MC→−MB→+MB→+MC→MC→−MB→=BC2

⇔MA→MC→−MB→+MC2−MB2=BC2

⇔MA→.MC→−MA→.MB→=BC2+MB2−MC2.