Cho 0≤x≤2020 và log2(2x+2)+x−3y=8y. Có bao nhiêu cặp số (x ;y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ?

Do 0≤x≤2020 nên log2(2x+2) luôn có nghĩa .Ta có log2(2x+2)+x−3y=8y⇔log2(x+1)+x+1=3y+23y⇔log2(x+1)+2log2(x+1)=3y+23y (1) ⇔log2(x+1)+2log2(x+1)=3y+23yXét hàm số f(t)=t+2t.Tập xác định D=ℝ và f'(t)=1+2tln2⇒f'(t)>0∀t∈ℝ.Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R . Do đó (1)⇔log2(x+1)=3y⇔y=log8(x+1).Ta có 0≤x≤2020 nên 1≤x+1≤2021 suy ra 0≤log8(x+1)≤log82021⇔0≤y≤log82021.Vì y∈ℤ nên y∈0 ;1 ;2 ;3.Vậy có 4 cặp số (x ;y) nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (0 ;0), (7 ;1), (63 ;2), (511 ;3). Chọn đáp án D