Cho hàm số f (x) xác định trên ℝ \ {-1; 1} thỏa mãn f'x=1x2−1 . Biết f (3) + f (-3) = 4 và f13+f−13=2 . Giá trị của biểu thức f (-5) + f (0) + f (2) bằng:

Đáp án đúng là: A

Hàm số f (x) xác định trên ℝ \ {-1; 1} Þ D = (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; +¥)

Ta có:

f'x=1x2−1=12⋅x+1−x−1x−1x+1

=121x−1−1x+1

⇒fx=∫f'xdx=12∫1x−1−1x+1dx

=12lnx−1x+1+C

+) f (3) + f (-3) = 4

⇔12ln3−13+1+C3+12ln−3−1−3+1+C1=4

⇔12ln12+C3+12ln2+C1=4

⇔−12ln2+C3+12ln2+C1=4

Û C₃ + C₁ = 4

f13+f−13=2

⇔12ln13−113+1+C2+12ln−13−1−13+1+C2=2

⇔12ln12+C2+12ln2+C2=2

⇔−12ln2+C2+12ln2+C2=2

Û C₂ + C₂ = 2 Û C₂ = 1

Từ đó giá trị của biểu thức

f (-5) + f (0) + f (2)

=12ln−5−1−5+1+C1+12ln0−10+1+C2+12ln2−12+1+C3

=12ln32+C1+12ln1+C2+12ln13+C3

=12ln32+ln13+C1+C3+C2

=12ln12+4+1=12ln12+5=5−12ln2.