Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \[a.\] Biết \(SA = SB = SC = a.\) Đặt \(SD = x\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right).\) Tính \(x\) theo \(a\) sao cho \(AC.SD\) đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án C.

Ta có \(\Delta SAC = \Delta ABC\left( {c - c - c} \right)\) và \(\Delta SAC,\Delta ABC\) lần lượt cân tại \(S\) và \(B.\)

Khi đó \(SO = BO = \frac{2}.\) Suy ra \(\Delta SBD\) vuông tại \(S\) (đường trung tuyến bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh đối diện).

Trong \(\Delta SBD\) ta có: \(BD = \sqrt {S{B^2} + S{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} .\)

Trong \(\Delta ABD\) áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

\(AO = \sqrt {\frac{{2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right)}}{4} - \frac{{B{D^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{2\left( {{a^2} + {a^2}} \right) - \left( {{a^2} + {x^2}} \right)}}{4}} = \frac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}.\)

Suy ra \(AC = 2AO = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} .\)

Khi đó \(AC.SD = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} .x = \sqrt {\left( {3{a^2} - {x^2}} \right){x^2}} .\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) ta có: \(AC.SD = \sqrt {\left( {3{a^2} - {x^2}} \right){x^2}} \le \frac{{3{a^2} - {x^2} + {x^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)

Vậy \(\max AC.SD = \frac{{3{a^2}}}{2}.\)

Dấu “=” xảy ra \(3{a^2} - {x^2} = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow x = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)