Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABClà tam giác vuông cân tại \(B\) có \(AC = 2a.\) Cạnh \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 2a.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A,\) vuông góc với cạnh \(SB\) tại \(K\) và cắt cạnh \(SC\) tại \(H.\) Gọi \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích của khối tứ diện \(SAHK\) và khối đa dienj \(ABCHK.\) Tỉ số \(\frac{}{}\) bằng

Đáp án A.

Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc \(SB,\) cắt \(SB\) tại \(K.\)

Từ \(K\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(SB\) cắt \(SC\) tại \(H.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB,\) suy ra \(BC//HK.\)

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(AB = BC = \frac{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 .\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[SAB\] ta có:

\(S{A^2} = SK.SB \Leftrightarrow \frac = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{A{B^2} + A{S^2}}} = \frac{{4{a^2}}}{{2{a^2} + 4{a^2}}} = \frac{2}{3}.\)

Vì \(BC//HK\) nên \(\frac = \frac = \frac{2}{3}.\)

Ta có: \(\frac{}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac.\frac.\frac = 1.\frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_1} = \frac{4}{9}{V_{S.ABC}} \Rightarrow {V_2} = \frac{5}{9}{V_{S.ABC}}.\)

Vậy \(\frac{}{} = \frac{4}{5}.\)