Cho hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) - \frac{{{x^6}}}{3} + {x^4} - {x^2}\) đạt cực tiểu tại bao nhiêu điểm?

Đáp án D.

Ta có \(g'\left( x \right) = 2xf'\left( {{x^2}} \right) - 2{x^5} + 4{x^3} - 2x.\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 0\\f'\left( {{x^2}} \right) - {x^4} + 2{x^2} - 1 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right..\)

Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right),\) khi đó \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 1\\t = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = 0,x = \pm 1,x = \pm \sqrt 2 .\)

\(f'\left( t \right) >{t^2} - 2t + 1 \Leftrightarrow 0 < t < 1 \Leftrightarrow 0 < {x^2} < 1 \Leftrightarrow - 1 < x < 1.\)

\(f'\left( t \right) < {t^2} - 2t + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 0\\t >1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x >1\end{array} \right..\)

Bảng biến thiên

Suy ra, hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) - \frac{{{x^6}}}{3} + {x^4} - {x^2}\) đạt cực tiểu tại một điểm.