Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và có thể tích \(V.\) Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(SC\) sao cho \(EC = 2ES.\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(AE\) và song song với đường thẳng \(BD,\left( \alpha \right)\) cắt hai cạnh \(SB,SD\) lần lượt tại \(M,N.\) Tính theo \(V\) thể tích khối chóp \(S.AMEN.\)

Đáp án D.

Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD.\)

Trong \(\left( {SAC} \right).\) Gọi \(I = SO \cap AE.\)

Từ \(I,\) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng \(BD\) cắt hai cạnh \(SB,SD\) lần lượt tại \(M,N.\)

Gọi \(K\) là trung điểm \(EC \Rightarrow SE = EK = KC.\)

Do \(OK\) là đường trung bình của tam giác \(CAE \Rightarrow OK//IE \Rightarrow \frac = \frac = \frac{1}{2}.\)

Do \(MN//BD \Rightarrow \frac = \frac = \frac = \frac{1}{2}\)

Ta có: \({V_{S.AMBN}} = {V_{S.AMB}} + {V_{S.ABN}}.\)

\(\frac{{{V_{S.AME}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac.\frac = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.AME}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABC}}.\)

\(\frac{{{V_{S.ANE}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac.\frac = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.ANE}} = \frac{1}{6}{V_{S.ACD}}.\)

\({V_{S.AMBN}} = {V_{S.AMB}} + {V_{S.ABN}} = \frac{1}{6}\left( {{V_{S.ABC}} + {V_{S.ACD}}} \right) = \frac{1}{6}{V_{S.ABCD}}.\)

\( \Rightarrow {V_{S.AMBN}} = \frac{1}{6}V.\)