Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x,\) khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án A.

Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R},\) có đạo hàm \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1.\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1.\)\(\left( 1 \right)\)

Nhận xét số nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1.\)

Ta có đồ thị như sau:

Khi đó \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right..\)

Với \(x = 1\) là nghiệm kép, \(x = - 1;x = 2\) là nghiệm đơn.

Ta có bảng biến thiên:

Suy ra \(g\left( { - 1} \right) >g\left( 1 \right) >g\left( 2 \right).\)