Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số và các mệnh đề sau: I. Hàm số có 3 điểm cực trị. II. Hàm số đạt cực tiểu tại III. Hàm số đạt cực đại tại IV. Hàm số đồng biến trên khoảng V. Hàm số nghịch biến trên khoảng Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

Giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số y=f'(x) ta có:

Hàm số y=f(x) đồng biến trên (0;+∞) và nghịch biến trên (−∞;0).

Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x=1 và đạt cực tiểu tại x=0.

Xét hàm số: g(x)=f(x2−3) ta có: g'(x)=(x2−3)'f'(x2−3) =2xf'(x2−3)

⇒g'(x)=0⇔2xf'(x2−3)=0

⇔[x=0f'(x2−3)=0⇔[x=0x2−3=−2x2−3=1

⇔[x=0x2=1x2=4⇔[x=0x=±1x=±2

Với x=3 ta có: g'(x)=6f'(6)>0

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy:

Hàm số y=g(x) có 5 điểm cực trị ⇒I  sai.

Hàm số g(x) đạt cực tiểu tại x=0 ⇒II đúng.

Hàm số g(x) đạt cực tiểu tại x=2 ⇒III sai.

Hàm số g(x) nghịch biến trên (−2;−1) nghịch biến trên (−1;0) và đồng biến trên (0;1) ⇒IV sai.

Hàm số g(x) nghịch biến trên (−1;0) và đồng biến trên (0;1)⇒V sai.

Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.

Đáp án D