Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a cạnh bên SA=a5, mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

Phương pháp giải:

Gọi H là trung điểm của AB ⇒SH⊥(ABCD)

Ta có: AD//BC⇒AD//(SBC)

⇒d(AD,SC)=d(AD,(SBC))=d(A;(SBC))

Ta có: HBAB=d(H;(SBC))d(A;(SBC))=12 ⇒d(A;(SBC))=2d(H;(SBC))

Kẻ HK⊥SB ⇒d(H;(SBC))=HK

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB ⇒SH⊥(ABCD)

Ta có: AD//BC ⇒AD//(SBC)

⇒d(AD,SC)=d(AD,(SBC))=d(A;(SBC))

Ta có: HBAB=d(H;(SBC))d(A;(SBC))=12⇒d(A;(SBC))=2d(H;(SBC))

Kẻ HK⊥SB

Vì SH⊥(ABCD)⇒SH⊥AB

Lại có: AB⊥BC(gt)⇒AB⊥(SBC)⇒HK⊥(SBC)

⇒d(H;(SBC))=HK

⇒SH=SA2−AH2=SA2−(AB2)2 =(a5)2−a2=2a

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔSHB vuông tại H, có đường cao HK ta có:

HK=SH.BHSH2+BH2=2a.a(2a)2+a2=2a5=2a55

⇒d(A;(SBC))=2d(H;(SBC))=2HK=4a55.

Đáp án C