Cho các số thực x,y thỏa mãn 4x2+4y2−2x2+4y2+1=23−x2−4y2−42−x2−4y2 . Gọi m,M lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=x−2y+1x+y+4 . Tổng M+mbằng:

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ t=2x2+4y2(t≥1), đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm t.

- Tìm mối quan hệ giữa x,y dạng (ax)2+(by)2=1.

- Đặt {ax=sinαby=cosα, thế vào biểu thức P.

- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng Asinα+Bcosα=C. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định M,m.

Giải chi tiết:

Ta có:

4x2+4y2−2x2+4y2+1=23−x2−4y2−42−x2−4y2

⇔(2x2+4y2)2−2.2x2+4y2=82x2+4y2−16(2x2+4y2)2

Đặt t=2x2+4y2(t≥1), phương trình trở thành:

t2−2t=8t−16t2⇔t2−2t=8t−16t2

⇒t3(t−2)=8(t−2)

⇒(t3−8)(t−2)=0

⇔(t−2)2(t2+2t+4)=0⇔t=2(tm)(dot2+2t+4>0∀t)

Với 2x2+4y2=2⇔x2+4y2=1. Khi đó tồn tại α sao cho {x=sinα2y=cosα.

Ta có:

P=x−2y−1x+y+4=sinα−cosα−1sinα+12cosα+4

⇔Psinα+12Pcosα+4P=sinα−cosα−1

⇔(P−1)sinα+(12P+1)cosα=−1−4P(*)

Để P tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm

⇒(P−1)2+(12P+1)2≥(−1−4P)2

⇔P2−2P+1+14P2+P+1≥16P2+8P+1

⇔594P2+9P−1≤0⇔−18−43559≤P≤−18+43559

⇒{M=−18+43559m=−18−43559⇒M+m=−3659

Đáp án A