Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0};AB = a.\) Khi đó thể tích của khối đa diện \(ABCC'B'\) bằng

Đáp án C.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\Delta ABC\) đều nên \(AM \bot BC\).

Tam giác \(A'BC\) đều nên \(A'M \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {A'AM} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'AM} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = A'M\\\left( {A'AM} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AM\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} = \widehat {\left( {A'M;AM} \right)} = \widehat {A'MA}\)

Xét \(\Delta AA'M\) vuông tại \(A,\) có \(\tan \widehat {A'MA} = \frac{{AA'}} \Rightarrow AA' = \tan {60^0}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{2}.\)

Tứ giác \(BCC'B'\) là hình chữ nhật có diện tích \({S_{BCC'B'}} = BB'.BC = \frac{{3{a^2}}}{2}.\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\AM \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Thể tích khối chóp \(ABCC'B'\) là \({V_{ABCC'B'}} = \frac{1}{3}.d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{BCC'B'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

Vậy diện tích thiết diện bằng \(\frac{{8\sqrt {11} }}{3}\) (đvtt)