Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \[12{\rm{ }}cm.\] Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \[x\,\,\left( {cm} \right),\] rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp (tham khảo hình vẽ bên). Với giá trị nào của \[x\] thì hộp nhận được có thể tích lớn nhất (giả thiết bề dày tấm tôn không đáng kể).

Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh \[12 - 2x\].

Chiều cao của hình hộp là \[x\].

Thể tích hình hộp là \[y = x{\left( {12 - 2x} \right)^2}\].

Bài toán đưa về tìm \[x \in \left( {0\,;\,\,6} \right)\] để hàm số \[y = f\left( x \right) = x{\left( {12 - 2x} \right)^2}\] có giá trị lớn nhất.

\[y' = 1 \cdot {\left( {12 - 2x} \right)^2} + x \cdot 2 \cdot \left( {12 - 2x} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = 12{x^2} - 96x + 144\].

\[y'\] xác định \[\forall x \in \left( {0\,;\,\,6} \right)\]; \[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right..\]

Bảng biến thiên

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \[x = 2\]. Chọn A.