Trong không gian \[Oxyz,\] cho tam giác \[ABC\] có \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right),\,\) \(B\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,3} \right),\,\)\(C\left( { - 4\,;\,\,7\,;\,\,5} \right).\) Gọi \(D\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) là chân đường phân giác trong góc \(B\) của tam giác \[ABC\]. Giá trị của \(a + b + 2c\) bằng

Ta có \(AB = \sqrt {26} \,,\,\,BC = \sqrt {104}  = 2\sqrt {26} .\)

Theo tính chất đường phân giác ta có \(\frac = \frac = \frac{1}{2}.\)

Suy ra \(\overrightarrow {DA}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \,\,\,(*).\)

Do đó \((*) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - a =  - \frac{1}{2}\left( { - 4 - a} \right)}\\{2 - b =  - \frac{1}{2}\left( {7 - b} \right)}\\{ - 1 - c =  - \frac{1}{2}\left( {5 - c} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{2}{3}}\\{b = \frac{3}}\\{c = 1}\end{array} \Rightarrow a + b + 2c = 5} \right.} \right..\) Chọn A.