Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật, \(AB = a,\,\,AD = a\sqrt 3 .\) Mặt bên \[SAB\] là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Cosin của góc giữa đường thẳng \[SD\] và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng

Gọi \[H\] là trung điểm của \[AB\].

Vì \(\Delta SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).

Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) do đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Lại có \(BC \bot AB \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Kẻ \[HF \bot SB \Rightarrow BC \bot HF \Rightarrow HF \bot \left( {SBC} \right)\].

Gọi \(DH \cap BC = E,\,\,K\) là điểm đối xứng với \(E\) qua \(F.\)

Ta có \(AD\,{\rm{//}}\,BC \Rightarrow \frac = \frac = 1 \Rightarrow HD = HE.\)

Lại có \(HF \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(DK \bot \left( {SBC} \right)\); \(\left( {SD,\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SD,\,\,SK} \right) = \widehat {DSK}\).

Ta có \[AH = HB = \frac{2} = \frac{a}{2}\]\( \Rightarrow DH = \sqrt {A{H^2} + A{D^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} + 3{a^2}}  = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)

Xét tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow SD = \sqrt {S{H^2} + H{D^2}}  = 2a.\)

Ta có \(\frac{1}{{H{F^2}}} = \frac{1}{{H{S^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{3} \Rightarrow HF = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)\( \Rightarrow DK = 2HF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Lại có \(DK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow DK \bot EF \Rightarrow \widehat {SKD} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \sin \widehat {SKD} = \frac{{D{\rm{S}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {SKD} = \frac{{\sqrt {13} }}{4} \Rightarrow \cos \left( {SD,\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{\sqrt {13} }}{4}\).

Chọn A.