Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn các điều kiện \(f'\left( x \right) = a{x^2} + \frac{b}{{{x^3}}},\,\,f'(1) = 3,\,\,f\left( 1 \right) = 2\) và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}.\) Khi đó, giá trị của \(2a + b\) bằng

Ta có \[f'\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow a + b = 3\].   (1)

Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng \[\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\], các điểm \(x = 1,x = \frac{1}{2}\) đều thuộc \((0; + \infty )\) nên

\(f(x) = \int {f'} (x){\rm{d}}x = \int {\left( {a{x^2} + \frac{b}{{{x^3}}}} \right)} \,\,{\rm{d}}x = \frac{{a{x^3}}}{3} - \frac{b}{{2{x^2}}} + C.\)

• \(f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{3} - \frac{b}{2} + C = 2\).                                                         (2)

• \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1} \Rightarrow \frac{a} - 2b + C =  - \frac{1}\).   (3).

Từ (1), (2) và (3) ta được hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 3}\\{\frac{a}{3} - \frac{b}{2} + C = 2}\\{\frac{a} - 2b + C =  - \frac{1}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 1}\\{C = \frac{6}}\end{array} \Rightarrow 2a + b = 2 \cdot 2 + 1 = 5.} \right.} \right.\)

Chọn C.