Tất cả giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + \left( {{m^2} - 2} \right)x + 2{m^2} + 4\) cắt các trục tọa độ \[Ox,\,\,Oy\] lần lượt tại \[A,\,\,B\] sao cho diện tích tam giác \[OAB\] bằng 8 là

Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là \(B\left( {0\,;\,\,2{m^2} + 4} \right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là:

\({x^3} + \left( {{m^2} - 2} \right)x + 2{m^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + {m^2} + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2}\\{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {m^2} + 1 = 0\quad (VN)}\end{array}} \right.\)

Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là \(A\left( { - 2\,;\,\,0} \right).\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left( {2{m^2} + 4} \right) = 8 \Rightarrow m =  \pm \sqrt 2 \).

Chọn D.