Cho phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 20;20} \right]\) để phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( {0;1} \right).\)

Đáp án D

Phương trình \( \Leftrightarrow \log _2^2x - {\log _2}x = m + {\log _2}x + \sqrt {m + {{\log }_2}x} \left( * \right)\)

Với điều kiện \(x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow - {\log _2}x > 0\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t\left( {t > 0} \right)\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Do đó phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( { - {{\log }_2}x} \right) = f\left( {\sqrt {m + {{\log }_2}x} } \right) \Leftrightarrow - {\log _2}x = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \)

\( \Leftrightarrow m = \log _2^2x - {\log _2}x = {u^2} + u = f\left( u \right)\) (với \(u = - {\log _2}x\) và \(u > 0\))

Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} f\left( u \right) = 0,\mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } f\left( u \right) = + \infty \) nên phương trình có nghiệm khi \(m > 0.\)

Kết hợp \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 20;20} \right]\) suy ra có 20 giá trị của tham số m.