Cho hàm số fx xác định và có đạo hàm f'x liên tục trên đoạn [1;3] và fx≠0 với mọi x∈1;3, đồng thời f'x+1+fx2=fx2x−12 và f1=−1. Biết rằng ∫13fxdx=aln3+b,a,b∈ℤ. Tính tổng S=a+b2.

Chọn A.

Ta có: f'(x)(1+f(x))2=[(f(x))2(x−1)]2<=>f'(x)(1+f(x))2f4(x)=(x−1)2.

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được ∫f'(x)(1+f(x))2f4(x)dx=∫(x−1)2dx

<=>∫(1+2f(x)+f2(x))f'(x)f4(x)dx=∫(x−1)2dx<=>∫1f4(x)+21f3(x)+1f2(x)d(f(x))=(x−1)33+C<=>−13f3(x)−1f2(x)−1f(x)=(x−1)33+C<=>−1+3f(x)+3f2(x)3f3(x)=(x−1)33+C

Mà f(1)=−1=>−1−3+3−3=C=>C=13

=>−1+3f(x)+3f2(x)3f3(x)=(x−1)33+13<=>1+3f(x)+3f2(x)3f3(x)+13=−(x−1)33<=>(1+f(x))3f3(x)=−(x -1)3<=>1+1f(x)3=(1-x)3<=>f(x)=−1x.

Vậy ∫13f(x)dx=∫13−1xdx=−ln|x|31=−ln3. Suy ra a=−1;b=0 hay a+b=−1.