Có bao nhiêu bộ (x;y) với x, y nguyên và 1≤x,y≤2020 thỏa mãn xy+2x+4y+8log32yy+2≤2x+3y−xy−6log22x+1x−3?

Chọn A

Điều kiện x,y∈N*:x,y≤20202x+1x−3>0,2yy+2>0<=>x,y∈N*:x,y≤2020x>3,y>0.

BPT cho có dạng (x−3)(y−2)log2x+4x−2+1+(x+4)(y+2)log3y−2y+2+1≤0(*).

Xét y = 1 thì (*) thành −(x−3)log2x+4x−3+1+3(x+4)log323≤0, rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi x > 3 vì −(x−3)<0;log2x+4x−3+1>log2(0+1)=0,3(x+4)>0,log323<0. 

Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ (x;y)=(x;1) với 4≤x≤2020,x∈ℕ.

Xét y = 2 thì (*) thành 4(x+4)log31≤0,BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà 4≤x≤2020,x∈ℕ.

Trường hợp này cho ta 2017 cặp (x;y) nữa.

Với y > 2, x > 3 thì VT(*) > 0 nên (*) không xảy ra

Vậy có đúng 4034 bộ số (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.