Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực a>1,b>1 thỏa mãn log9a=log12b=log165b−ac ?

 Đáp án C

Phương pháp giải: Giải chi tiết: Đặt log9a=log12b=log165b−ac=t ⇒a=9tb=12t5b−ac=16t 

(Vì a>1⇒9t>1⇔t>0).

Khi đó ta có:

Đặt x=43t. Vì t>0⇒x>1.

Khi đó phương trình (*) trở thành: cx2−5x+1=02*

⇒ Để tồn tại hai số thực a>1;b>1 thì phương trình (2*) có nghiệm lớn hơn x>1.

Ta có:Δ=25−4c .

TH1: Δ=0⇔c=254, khi đó phương trình (2*) có nghiệm kép x=52c.

⇒x>1⇔52c=25<1 (loại).

TH2: Δ>0⇔c<254, khi đó phương trình (2*) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: x1+x2=5cx1x2=1cx1≤1x2≤1⇔x1+x2≤2x1−1x2−1≥0

Để (2*) có 2 nghiệm x1≤1x2≤1⇔x1+x2≤2x1−1x2−1≥0

⇔x1+x2≤2x1x2−x1+x2+1≥0⇔5c≤21c−5c+1≥0 ⇔c≥524c≤1⇔c≥52c≥4⇔c≥4

Do đó để phương trình (2*) có nghiệm x>1 thì c<4.

Kết hợp điều kiện c<254⇒c<4.

Mà c là số nguyên dương nên c<254⇒c<4.

Vậy có tất cả 3 giá trị của c thỏa mãn yêu cầu bài toán.