Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \[\left[ {0\,;\,\,4} \right]\] và có đồ thị gồm một phần parabol hợp với một đoạn thẳng như hình vē bên. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^4 {\left| {f'\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x.\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1\,;\,\,2} \right)\), nghịch biến trên các khoảng \[\left( {0\,;\,\,1} \right)\] và \(\left( {2\,;\,\,4} \right).\)

Suy ra \[I = \int\limits_0^4 {\left| {f'\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\left| {f'\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x + \int\limits_1^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x\int\limits_2^4 {\left| {f'\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x\]

\( =  - \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x + \int\limits_1^2 {f'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x - \int\limits_2^4 {f'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\)\( = f\left( 0 \right) - f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) - f\left( 4 \right)\)

\( = f\left( 0 \right) - 2f\left( 1 \right) + 2f\left( 2 \right) - f\left( 4 \right) = 3 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 1 = 4.\) Chọn A.