Cho hình nón \(\left( N \right)\) có đường cao bằng \(\frac{2}\), đáy của \(\left( N \right)\) có bán kính bằng a. Thiết diện qua đỉnh của \(\left( N \right)\) là một tam giác nằm trong mặt phẳng cách tâm đáy của \(\left( N \right)\) một khoảng bằng \(\frac{4}\). Tính theo a diện tích S của tam giác này.

Đáp án C

Thiết diện qua đỉnh \(\left( N \right)\) là \(\Delta SCD\) như hình vẽ.

Kẻ \(OK \bot CD,{\rm{ }}OP \bot SK \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = OP = \frac{4}\).

\(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{P^2}}} - \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{{9{a^2}}} - \frac{4}{{9{a^2}}} = \frac{{9{a^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow C{K^2} = \sqrt {O{C^2} - O{K^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2} \Rightarrow CD = 2CK = a\).

Ta có \(SK = \frac = \frac{{\frac{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{4}}} = a\sqrt 3 \).

Từ \(CD \bot \left( {SOK} \right) \Rightarrow CD \bot SK\)

\( \Rightarrow {S_{SCD}} = \frac{1}{2}CD.SK = \frac{1}{2}a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).