Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, cạnh \(AC = 3,{\rm{ }}BC = 4\). Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng

Đáp án B

Gọi I là trọng tâm của \[\Delta SAB\] và \(H = SI \cap AB \Rightarrow d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Kẻ \(HK \bot BC,{\rm{ }}HP \bot SK \Rightarrow d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HP\)

\[ \Rightarrow d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{2}{3}HP\]. Cạnh \[HK = \frac{2} = \frac{3}{2}\] và \[SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\].

\[\frac{1}{{H{P^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} \Rightarrow HP = \frac{{15\sqrt 7 }}\]

\[ \Rightarrow d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{5\sqrt 7 }}\].