Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\) và \(\left( {O'\,;\,\,R} \right).\) Biết rằng tồn tại dây cung \[AB\] của đường tròn \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\) sao cho tam giác \(O'AB\) đều và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) và mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\) bằng \(60^\circ .\) Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là

Gọi \(K\) là trung điểm \[AB,\] đặt \(AB = 2a.\)

Ta có \(AB \bot OK\) và \(AB \bot OO'\) nên \(\widehat {OKO'} = 60^\circ  \Rightarrow O'K = 2OK\)

\( \Rightarrow O'{K^2} = 4O{K^2} \Rightarrow 3{a^2} = 4\left( {{R^2} - {a^2}} \right) \Rightarrow {a^2} = \frac{{4{R^2}}}{7}\)

Mà \[O{O'^2} = O'{B^2} - O{B^2} = 4{a^2} - {R^2} = 4 \cdot \frac{{4{R^2}}}{7} - {R^2} = \frac{{9{R^2}}}{7}\]

\[ \Rightarrow O'O = \frac{{6\sqrt 7 \pi R}}{7}.\]